Родился во Владимирской области. Окончил Волгоградское училище искусств (1978), режиссёрский факультет Санкт-Петербургской академии театральных искусств (2007). В 1978-80 гг. работал в Красноярском театре оперетты, в 1981-83 гг. – в Одесском театре оперетты. С 1983 г. по настоящее время — в Государственном театре оперы и балета им. И. М. Яушева.
Создал свыше ста пятидесяти ролей в различных музыкальных спектаклях и опереттах: Принц Сафир в «Синей Бороде» Ж. Оффенбаха; Фальк в «Летучей мыши» и Стефан в «Цыганском бароне» И. Штрауса; Бони в «Сильве», Гастон в «Цыгане-премьере» и Зупан в «Марице» И. Кальмана; Микки Стан в «Вольном ветре» И. Дунаевского; Бабс в музыкальной комедии О. Фельцмана «Донна Люция» и многих других. Не менее значительными и яркими были работы А.А. Челышева в оперных и балетных спектаклях: Коппелиус в балете «Коппелия», Герцог в балете «Жизель» А. Адана; хан Кончак в «Половецких плясках» на муз. А. Бородина; Борса в «Риголетто», Гастон в «Травиате» Дж. Верди; Трике в «Евгении Онегине» П. Чайковского. В 1996 г. осуществил постановку музыкальной сказки М. Фомина «Как Настенька чуть кикиморой не стала». В 1999 г. А.А. Челышеву присвоено звание «Заслуженный артист Республики Мордовия».
В последние годы в основном работает как режиссёр: концерт-ревю «Как хорошо быть в оперетте» (1986), музыкальная сказка М. Фомина «Как Настенька чуть кикиморой не стала» (1995), вечер старинного романса «Времён связующая нить» (2001), мюзиклы «Моя прекрасная леди» Ф. Лоу (2005) и «Брак по-французски» А. Журбина (2008), музыкальная сказка «Таблетки от жадности» М. Самойлова (2008), музыкальная комедия «Старинные амуры» А. Семёнова (2009), «Нам дороги эти позабыть нельзя» — музыкальная композиция к 65-летию Победы в ВОВ (2010), вечер романса «Я о любви тебе пою» (2012), детский мюзикл «Двенадцать месяцев» (2011) и музыкальная комедия «Подлинная история поручика Ржевского» В. Баскина (2013), оперетта «Летучая мышь» И. Штрауса (2014).
Челышев Александр Александрович проводил просветительскую работу для детей на Мордовском телевидении. В 1986 — 88 гг. вёл цикл передач по своим сценариям под общим названием «У Хоттабыча во вторник». Осуществил театральную постановку о романсе «Времён связующая нить» (1999). Создал несколько циклов передач на Республиканском радио: о выдающихся оперных театрах мира (ГАБТ, «Ла Скала» и др.), шедеврах оперного искусства («По страницам любимых опер», 1993 — 98), певцах («Блеск бельканто»). Совместно с народной артисткой РМ Любовью Денисовой создал сценарии и осуществил радиопостановки по литературным произведениям В. Шекспира, Ф. Шиллера, Л. Толстого, А. Герцена, А. Кристи, С. Цвейга. Все записи вошли в золотой фонд ГТРК «Мордовия»